趕鴨子過橋

農夫趕一群鴨子過橋，過第一座橋時有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，農夫救起2隻鴨子。過第二座橋時有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，農夫也救起2隻鴨子。過第三座橋時有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，農夫也救起2隻鴨子，此時共剩5隻鴨子。那麼原來農夫趕了多少隻鴨子?

因為過第三座橋時有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，農夫救起2隻鴨子，剩5隻鴨子。
所以橋上半數鴨子跌落橋下後還有5-2=3隻鴨子，可知原來有3×2=6隻鴨子要過第三座橋。

因為過第二座橋時有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，農夫救起2隻鴨子，剩6隻鴨子。
所以橋上半數鴨子跌落橋下後還有6-2=4隻鴨子，可知原來有4×2=8隻鴨子要過第二座橋。

因為過第一座橋時有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，農夫救起2隻鴨子，剩8隻鴨子。
所以橋上半數鴨子跌落橋下後還有8-2=6隻鴨子，可知原來農夫要趕6×2=12隻鴨子過第一座橋。

如果農夫趕一群鴨子過橋，總共有n座橋，每一次過橋都有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，而每一次農夫都救起2隻鴨子。最後只剩下5隻鴨子，那麼原來農夫趕了多少隻鴨子?

參考上述討論可得數列 6，8，12，20，36，...，a_n，其中 a_n=2(a_n-1-2)。

a₁=6
a₂=6+2
a₃=6+(2+4)
a₄=6+(2+4+8)
a₅=6+(2+4+8+16)
.....

a_n=6+(2+2²+2³+2⁴+...+2^n-1)=6+$\large\frac{2(2^{n-1}-1)}{(2-1)}$=4+2ⁿ

「農夫趕鴨子過n座橋，每過一座橋都有半數鴨子跌落橋下被溪流沖走，而每一次農夫都能救起2隻鴨子。如果最後只剩下5隻鴨子，那麼原來農夫趕了多少隻鴨子?」