黃金比例紙摺扇

炎炎夏日,最環保的避暑方法,莫過於用扇子搧走暑氣了。
我們通常用黃金比例(0.618)來設計一把美麗的紙摺扇,則紙摺扇完全展開的角度是多少?

                  

附圖,假設圓形半徑為r,一扇形,扇形的圓心角是x度。如果扇形面積是A1,其他面積是A2。

如果$\frac{A1}{A2}$=0.618,則x即為黃金比例紙摺扇所期望展開的角度。

如果扇形的半徑為r,圓心角是x度,則面積是πr2($\large\frac{x}{360}$)。

$\frac{A1}{A2}$=$\large\frac{\pi r^2(\large\frac{x}{360})}{\pi r^2-\pi r^2(\large\frac{x}{360})}$=0.618,$\large\frac{\large\frac{x}{360}}{1-(\large\frac{x}{360})}$=0.618,$\large\frac{x}{360-x}$=0.618,則x≒140 度。

所以展開角140度的紙摺扇是合乎美學黃金比例設計的。


也可以如下那樣求展開角度︰
A1:A2=A2:(A1+A2),x:360-x=360-x:360,因此(360-x)2=360x。
x2-1080x+5402=5402-3602
x-540≒±402
取 x=540-402=138≒140


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