圓柱螺旋線長

下圖,矩形ASBT中C和D點分別是BSTA的中點,BE=TFES=FA,則AE+FBAC+DB=2AC。由圖可見△AEC中,AE+EGAG。因為EG=FBCG=DB,所以AE+FBAC+CG=AC+DB=2AC

當然上圖的AEFB 也會連接成螺旋線,而且它的長度比ACDB 所連成的螺旋線長。


如果將矩形ASBT(右圖一)捲成圓柱體,讓TABS緊密黏接,ACDB 的C點會接連D點,並形成圓柱表面上的的螺旋線(右圖二)。

 

 

( 圖 一 )

( 圖 二 )

如果將矩形ASBT(右圖三)捲成圓柱體,讓TABS緊密黏接,AEFB 的E點會接連F點,並形成圓柱表面上的的螺旋線(右圖四)。
由上述可以推論︰「從圓柱體底面的A點繞柱面盤旋而上,兩圈後到達T點,此時,TA垂直於底面。如果D點是TA(母線)的中點,則所走過的軌跡(螺旋線)長是最短的。」

  ( 圖 三 )

( 圖 四 )

也就是說,如果圓柱體的底圓周長是L,柱高是H,由圓柱體底面的A點繞柱面盤旋而上,兩圈後到達T點,TA垂直於底面。則所走過軌跡(螺旋線)的最短長度是。推廣可知,如果盤旋數是n圈,則所走過的軌跡(螺旋線)的最短長度是


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