海龍公式 Heron's formula

 

試著跟一些渴望深入學習的九年級(國三)學生談談求三角形面積的海龍公式,學生只需具備切線長和相似三角形的觀念。畢竟這一端的學生也需要有人給他們添柴薪點燃求知慾。

古希臘 亞歷山大里亞(Alexandria)的數學家海龍 (Heron)(西元1-75)所處年代大約是在歐幾理得之後350年左右,他也是力學家和機械學家。海龍的著作《Metrica》(測量術)已經有了Heron's formula的證明,可參考 [註]我們則試著運用切線長和相似三角形來和國三學生一起探索Heron's formula 

 

圖一,△ABC的內心是O1,傍心是O2,D、E、L、K、G、F都是切點。

在△ABC,AD=AE,BD=BL,CE=CL,△ABC的周長=2(AD+BL+CE)。

 

(圖一)

 

圖二,假設 BC=a,CA=b,AB=c,$s=\frac{a+b+c}{2}$,則

AD=AE=s-a,BD=BL=s-b,CE=CL=s-c。

 

(圖二)

 

圖三,圓O2,BF=BK=BL+LK。

圓O1,CE=CL=CK+KL。

圓O1和圓O2,AD=AE且AF=AG,所以AF-AD=AG-AE,因此DF=EG。

因為DB+BF=BL+BK=2DB+LK,且EC+CG=CL+CG=2CG+LK,所以DB=CG=s-b。

因此 DF-DB=EG-CG,即 BF=EC=s-c。

因為△ADO1~△AFO2,所以 DO1:FO2=(s-a):(s-a)+(s-b)+(s-c)=(s-a):s ...(1)

 

(圖三)

 

圖四,直角△CEO1和直角△O2GC,因為CO1平分∠BCA,且CO2平分∠BCG,所以∠O1CE=∠CO2G,因此△CEO1~△O2GC(AA相似)。

因此 EO1:GC=CE:O2G,即EO1:(s-b)=(s-c):O2G ...(2)

 

(圖四)

 

圖四,令圓O1半徑=r,圓O2半徑=R,則由(1)(2)可知

r:R=(s-a):s且r:(s-b)=(s-c):R,即

$r=\frac{R(s-a)}{s}$,rR=(s-b)(s-c)。因此

$r=\frac{\frac{(s-b)(s-c)}{r}(s-a)}{s}$

$r^2=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$

(rs)2=s(s-a)(s-b)(s-c)

△ABC的面積=rs=$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,其中 $s=\frac{a+b+c}{2}$

 

 

相關連結: 海龍公式(Heron's formula的原始證明)


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