數學歸納法外一章

      數學歸納法是說:有一批編了號碼的數學命題,我們能夠證明第1號命題是正確的;如果我們能夠證明當第n號命題正確時,則第n+1號命題也是正確的,那麼整批命題都是正確的了。
當然,證明第n號命題是正確,並不保證第n+1號命題也是正確的,名數學家華羅庚講過一個故事:「 一位買主買了一隻公雞回家。第一天,餵公雞一把米;第二天,又餵公雞一把米;第三天,還是餵公雞一把米。連續十天,每天都餵給公雞一把米。公雞就這十天的經驗,下了一個結論說:每天一定有一把米可吃。但是就在得出這個結論後不久,家堥茪F一位客人,公雞就被宰殺成為盤中飧請客人了。」華羅庚將這隻公雞如此得出結論的思考方法稱作公雞歸納法。而公雞歸納法是一種不完全歸納法。 華羅庚講這個故事的意思是說:「不能過分相信不完全歸納法。只對部分進行研究,得到一些結論,卻沒經過證明就說結論適用於全部,有時是要鬧出笑話的。」
在數學發展史上這樣的例子不少,例如,法國數學家Legendre A.M在1798年研究過二次函數 的值,當時他下了一個結論:它的函數值都是質數。而這個命題對不對呢? 事實上,經過計算,在 時,得到的值確實都是質數。但是這個命題還是錯的,因為n=40和41時,都不是質數。另一個有名的例子是,法國數學家Fermat曾猜想對於任何數n都是質數,經過計算n=0,1,2,3,4時,確實是質數。但是這個猜想還是錯的,當n=5時,=641×6700417,它並不是質數。




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