切，增加周長

如果正方形縱切2ⁿ等分，橫切2ⁿ等分，得4ⁿ個正方形，則4ⁿ個正方形的總周長是原來正方形周長的多少倍?

如果正方形縱切m等分，橫切n等分，得mm個長方形，則mn個長方形的總周長是原來正方形周長的多少倍?

如果是一般長方形縱切m等分，橫切n等分，得mm個長方形，則mn個長方形的總周長是原來長方形周長的多少倍?

將正方形縱切2等分，橫切2等分，得4個正方形，其總周長是原來正方形的2倍。

假設原來正方形的周長是4a，則縱切橫切所得的4個正方形的總周長是2a×4=8a，這是原來正方形周長的2倍。

同理可知︰

將正方形縱切4等分，橫切4等分，得16個正方形，其總周長是原來正方形的4倍。

將正方形縱切8等分，橫切8等分，得64個正方形，其總周長是原來正方形的8倍。

假設原來正方形的邊長a，則縱切一次或橫切一次都會增加周長2a。

正方形縱切2ⁿ等分，需縱切2ⁿ-1次，增加周長2a(2ⁿ-1)。

正方形橫切2ⁿ等分，需橫切2ⁿ-1次，增加周長2a(2ⁿ-1)。

完成上述，周長總共增加2×2a(2ⁿ-1)，所以總周長是4a+2×2a(2ⁿ-1)=4a×2ⁿ，

得知4ⁿ個正方形的總周長是原來正方形的2ⁿ倍。

正方形縱切m等分，需縱切m-1次，增加周長2a(m-1)。

正方形橫切n等分，需橫切n-1次，增加周長2a(n-1)。

完成上述，周長總共增加2a(m+n-2)，所以總周長是4a+2a(m+n-2)=2a(m+n)，

得知mn個長方形的總周長是原來正方形周長的$\frac{m+n}{2}$倍。

如果是一般長方形，橫長a、縱寬b，縱切m等分，需縱切m-1次，增加周長2b(m-1)。

橫切n 等分，需橫切n-1次，增加周長2a(n-1)。

完成上述，周長總共增加2b(m-1)+2a(n-1)，所以總周長是2(a+b)+2b(m-1)+2a(n-1)=2bm+2an，

得知mn個長方形的總周長是原來長方形周長的$\frac{an+bm}{a+b}$倍。