燈泡亮著

有一排32個觸控燈泡,編號由1至32,初始都是關燈。第一次接觸會開燈,第二次接觸則會關燈,第三次又開燈,第四次關燈,依此類推。有32個學生,座號由1號到32號,1號同學接觸的燈號是1的倍數,2號同學接觸的燈號是2的倍數,3號同學接觸的燈號是3的倍數,...,每一個學生接觸的燈號都是自己座號的倍數。等到32個學生輪流完成後,試想哪些燈號是亮著?」...(1)

燈泡開始是關燈,第一次接觸會開燈,第二次接觸則會關燈,第三次又開燈,第四次關燈,可見燈號被接觸過奇數次,這燈泡就是亮著。而學生所接觸的燈號是他座號的倍數,也就是說某燈號只被座號是燈號因數的學生接觸。因此,如果燈號的正因數個數是奇數,則最後它會是亮著。例如︰9號燈泡被1號、3號、9號學生接觸,而9的正因數有1、3、9共3個,最後9號燈泡亮著

從一個自然數N的標準分解式$a_1^{p_1}a_2^{p_2}a_3^{p_3}$.....$a_n^{p_n}$,可知N的正因數有(p1+1)(p2+1)(p3+1)×....×(pn+1)個
已知奇數×奇數=奇數,而奇數×偶數=偶數且×偶數=偶數,如果N的標準分解式,只要有一個質因數的次數pi是奇數,則pi+1是偶數,因此其正因數個數必是偶數
所以唯有N的標準分解式的所有質因數的次數是偶數,其正因數個數才會是奇數。如果N的標準分解式的所有質因數的次數是偶數,稱N是完全平方數或簡稱平方數。

問題(1)︰......等到32個學生輪流完成後,試想哪些燈號是亮著?
答案是1~32的平方數,有1、4、9、16、25,這5個燈號是亮的。

 

如果問題(1)的燈泡數量和學生人數都是n

n=   

則所有學生輪流完成工作後亮燈的燈泡號碼如下




 


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