搬 n2 磚 塊

有n2塊石磚,由甲、乙兩人輪流每次搬走,每人每次搬走10塊,但是最後一輪,甲仍可搬走10塊,乙卻搬走不到10塊。若甲、乙希望最後各自搬走的磚塊總數是相同的,那麼甲應該讓給乙幾塊完整的石磚呢?    

磚塊總數

36

196

256

...

乙最後一輪搬走石磚數

6

6

6

...

我們由上表大膽猜想「如果有n2塊石磚,甲、乙兩人輪流各搬走10塊,而最後一輪,甲可搬走10個,乙只能搬走的石磚數一定是6」。
如果猜想是正確的,則甲需讓給乙2塊石磚,如此兩人各自搬走的磚塊總數才會是相同的。
(10+6)÷2=8,甲
︰10-2=8且乙︰6+2=8。
假設第m輪後的磚塊總數10+a塊,其中 0<a<10。
因為兩人在前m輪總共搬走了20m塊石磚,所以原有磚塊數=20m+(10+a)=10(2m+1)+a,即n2=10(2m+1)+a....(1)。如果甲讓給乙石磚b塊(0<b<10),則兩人搬走的磚塊總數相同。因此,10-b=a+b,即a=10-2b....(2),所以a是偶數。
(2)代入(1)得 n2=10(2m+1)+(10-2b)=2[10(m+1)-b],知n2是偶數,也就是說 n一定是偶數。
因為偶數的平方值的個位數字可能是0,4,6。已知0<a<10且由(1)可知a值可能是4或6。
如果a=4,則n2=10(2m+1)+4=2(10m+7),因為n是偶數,令n=2K,因此n2=(2K)(2K)=2(2K2),顯然n2=2(10m+7)不合理,所以a≠4。
如果a=6,則n2=10(2m+1)+6=4(5m+4),(m,n)有正整數解,例如m=1,n=6。

m

1

9

12

...

n

6

14

16

...

所以「如果有n2塊石磚,甲、乙兩人輪流各自搬走10塊,最後一輪,甲仍可搬走10個,乙只能搬走的石磚數一定是 6。若甲讓給乙2塊石磚,則兩人搬走的磚塊總數就會相等。」


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