搬 n2 磚 塊
 

       如果有n2塊全等的石磚,甲乙兩人輪流各搬走10塊,最後一輪,甲可搬走10塊,但是乙搬走的卻不到10塊。甲乙希望最後各自搬走的磚塊總數是相同的,那麼甲應該讓給乙幾塊完整的石磚呢?    

n2

36

196

256

...

原來乙在最後一輪
搬走的石磚數

6

6

6

...

      我們由上面幾例可以大膽猜想「如果有n2塊全等的石磚,甲乙兩人輪流 各搬走10塊,則最後一輪,甲搬走10個,乙能搬走的石磚數恆為6」。可是,猜想有時只是錯誤的臆測,也有可能經過嚴謹證明是正確的。如果此猜想是正確的,則甲需讓給乙2塊石磚,如此,兩人各自搬走的磚塊總數才會是相同的。

      依題意為求兩人搬走磚塊總數相同,假設第m+1輪原來只有10+a塊,其中 0<a<10,甲讓給乙石磚b塊(0<b<10)。兩人在前m輪總共搬走了20m塊石磚,石磚原有20m+10+a=10(2m+1)+a,即n2=10(2m+1)+a......(1)。
又因為10-b=a+b,即a=10-2b......(2),可見a必為偶數。
將 (2)代入(1)知n2=10(2m+1)+(10-2b)=2[10(m+1)-b],可見n2是偶數,也就是說n一定是偶數。
我們知道,任一個偶數的平方值的個位數字可能是0,4,6,因為0<a<10且由(1)可知a值可能是4或6。
假設a=4,則n2=10(2m+1)+4=2(10m+7),可是n是偶數,令n=2K,因此n2=(2K)(2K)=2(2K2),顯然n2=2(10m+7)是不合理的,所以a≠4。
如果a=6,則n2=10(2m+1)+6=4(5m+4),這程式可找出m和n的正整數解,例如m=1,n=6。
可見,敘述「如果有n2塊全等的石磚,甲乙兩人輪流各搬走10塊,則最後一輪,甲搬走10個,
乙能搬走的石磚數
恆為6」是恆真的,因此甲讓給乙2塊石磚,兩人各自搬走的磚塊總數就相同。

 
 


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