平舉竹竿通過直角彎道

直角彎道的兩側都有牆壁,直角彎道的道路寬分別是 a 與 b如附圖要平舉一支竹竿順利通過彎道,這支直竿的長度,最長可以是多少 ? (平舉竹竿恆保持平行於地面且離地面高度不超過牆壁高度)

假設通過直角彎道的平舉竹竿長度是AB,大於AB長的竹竿就過不了彎道了。因為AB長等於, 所以的最小值就是平舉直竿通過彎道的最大竹竿長度。

將問題被轉化成「求 的最小值?」

 

這類「求 的最小值?」的問題曾經是民國72年大學聯考的數學試題之一,當時考倒大多數的高中學生。而在全國第24屆科學展覽出現了一件數學作品,由嘉義女中吳素萍林怡君林溫慧三位同學在洪志雄老師的指導下榮獲第三名,他們在座標平面上討論,並巧妙的利用到柯西-史瓦茲不等式,解決了「求 的最小值?」。

坐標平面上過S、T兩點的直線方程式是 ,所以

根據柯西-史瓦茲不等式,可以取α>0,β>0,滿足

(c2+d2)(α22) ≧ (cα+dβ)2

(dβ+cα)() ≧ ()2 ,所以 dβ+cα ≧ ()2

因此ST=。當 c:d=α:β且=。整理第二個比例式得,可以令α=,β=,因此,所以 的最小值是

例如:直角彎道垂直的兩段路寬,分別是7公尺與9公尺。平舉22公尺的竹竿可以通過彎道,但是換成平舉23公尺的竹竿就無法通過彎道了。

路段寬 a= ; 路段寬 b=     
平舉竹竿通過直角彎道,竹竿長度≦
 


延伸閱讀 p,q 為正常數,0 < θ < π /2 ,(p/cosθ) + (q/sinθ) 最小值之求法及推廣 (第24屆全國中小學科展)


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