對稱時刻

 

定義:在圓形鐘錶上,如果時刻A和時刻B的算術平均數是6點,則彼此互稱為對稱時刻

圓形鐘錶,僅考慮12小時制,鐘面上以6點為對稱軸,某時刻的對稱時刻是幾點幾分?

 


5點5分對稱於6點的時刻是6點55分
9點20分對稱於6點的時刻是2點40分

 
如果 y>0,則 x點y分對稱於6點的時刻是 (11-x)點(60-y)分

如果 y=0,則 x點對稱於6點的時刻是 (12-x)點

 

時鐘上長短針指向時刻   

則其對稱於6點的時刻是

   



24小時制,0:00(午夜12點,12:00 a.m.)、1:00、2:00、...、12:00(中午12點,12:00 p.m.)、13:00、14:00、...、23:00。

試問「在24小時制,在0點0分時針和分針重合,兩針夾角0°。那麼在一天裡時針和分針總共重合幾次?」

已知時刻對稱於6點,所以先思考
時針和分針在0:00~6:00的重合次數。

因為鐘錶兩針指向x點y分,則時針和分針夾角 |$30x-\large\frac{11y}{2}$| (度) 或 360-|$30x-\large\frac{11y}{2}$| (度)。

如果x=0且兩針夾角0°,則 |$30\times 0-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=0,在0:00兩針重合。對稱時刻是12:00。

如果x=1且兩針夾角0°,則 |$30\times 1-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=$5\frac{5}{11}$,在1點$5\frac{5}{11}$分兩針重合對稱時刻是10點$54\frac{6}{11}$分

如果x=2且兩針夾角0°,則 |$30\times 2-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=$10\frac{10}{11}$,在2點$10\frac{10}{11}$分兩針重合。對稱時刻是9點$49\frac{1}{11}$分

如果x=3且兩針夾角0°,則 |$30\times 3-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=$16\frac{4}{11}$,在3點$16\frac{4}{11}$分,兩針重合。對稱時刻是8點$44\frac{7}{11}$分

如果x=4且兩針夾角0°,則 |$30\times 4-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=$21\frac{9}{11}$,在4點$21\frac{9}{11}$分兩針重合對稱時刻是7點$38\frac{2}{11}$分

如果x=5且兩針夾角0°,則 |$30\times 5-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=$27\frac{3}{11}$,在5點$27\frac{3}{11}$分兩針重合對稱時刻是6點$32\frac{8}{11}$分。[註1]

由上述可知,在0:00~11:59時段裡兩針重合11次。因此12:00~23:59時段裡兩針重合11次

所以在一天裡時針和分針總共重合22次


[註1]:
如果x=6且兩針夾角0°,則 |$30\times 6-\large\frac{11y}{2}$|=0, 得 y=$32\frac{8}{11}$,在6點$32\frac{8}{11}$分兩針重合對稱時刻是5點$27\frac{3}{11}$分

參考資料時針和分針的夾角

相關連結對稱時刻 ggb


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