時針和分針的夾角

      小學生(四年級)總是被要求能指出3點鐘的時針和短針的夾角是直角指出3點10分的時針和短針的夾角是銳角,而3點40分的時針和短針的夾角是鈍角。如果學生沒有輔助學習的小時鐘用來操作觀察,其實是無法判斷並正確結果的。
      到了小學六年級已認識理解比和比值,並有能力利用它處理生活問題,他們也應該熟練分數的四則運算了。
此時,可要求學生正確計算「3點10分的時針和短針的夾角是多少度?」「3點40分的時針和短針的夾角是多少度?」

       一個圓周的角度是360∘,分針繞走一周是60分鐘,所以分針繞走一分即旋轉 360 ÷ 60 = 6(度)。值得注意的是,分針和時針是互相牽動的走,分針繞走一周360∘,而時針同時繞走了 360 ÷ 12 = 30(度),這個結果是因為鐘表面被劃等分成12個時區,所以分針和時針的速率比值是 360 ÷ 30 = 12,可見時針旋轉的角度是分針的

        310分的時針和短針的夾角是多少度?」12點鐘的時針和分針同方向(朝上)重疊,利用它作為解題裡的基準點是很好的選擇,就將12處定義為0時0分。利用12點鐘方向做基準點(0時0分),參考(左圖),310分鐘分針由12處旋轉指向2處,總共轉了 6 10 = 60(度);而時針同時由12處旋轉了 303+(610)╳=90+5=95(度),所以3點10分的時針和短針的夾角是95-60=35(度)

        「340分的時針和短針的夾角是多少度?」12點鐘方向做基準點,參考(右圖),3點40分鐘分針由12處旋轉指向8處,總共轉了 640 = 240(度);時針由12處旋轉了30╳3+(640)=90+20=110(度),所以3點40分的時針和短針的夾角是240-110=130(度)

        由以上兩個實例,用12點鐘方向做基準點,可以發現時針和分針的夾角就是兩針旋轉角度差的絕對值。對於那些已經學習並理解利用未知數表示變數的六、七年級的學生來說,可以列出xy分的時針和分針的夾角,就是 | 6y-(30x+6y) |,化簡後就是| 11y-60x |。特別一提的是,因為一般都是採用24時制,如果 x≧12,則以x-12取代x值。例如:12點20分,x=0,y=20;14點30分,x=14-12=2,y=30。也就是說上午6點半和下午6點半,時針和短針的夾角是一樣的,都是| 11╳30-60╳6 | = 15(度)。


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