三等分圓面積

 

二等分圓周與二等分圓面積只要直徑(AB)就可以完成,也可以如太極圖一般(如左圖),左圖中AB是圓O的直徑,C點和D點是半徑AO、半徑BO的中點,以直徑AO、直徑BO作半圓。

如果要三等分圓周只要作圓內接正三角形,此正三角形的三個頂點就可以三等分圓周。那麼要如何三等分圓面積呢

如果圓的半徑是r,三等分此圓面積得每一等分面積是πr2。想一想,若以原來的圓心作小圓的圓心,而小圓半徑取r2 的正平方根,則小圓面積就是原來圓面積的。其他的區域是點對稱的圓環,因為此圓環的面積占原來圓面積的,若將它二等分則每等分各占原來圓面積的

我們先談如何三等分圓周,如右圖在圓O直徑AB上取AO的中點M和BO的中點N,過N點作中垂線交圓O於C點和D點。
右圖中,△OBD是正三角形,因此∠ABD=60∘,又因為∠ADB=90∘,所以∠DAB=30∘。
同理,∠CAB=30∘。因為∠DAC=∠DAB+∠CAB,所以∠DAC=60∘。
圓O中,∠C和∠ABD都對弧AD,因此∠C=∠ABD=60∘,由以上說明可知△ACD是等角的正三角形,因此頂點A、C、D
三等分圓周
現在再談如何三等分圓O面積,假設圓O半徑長 r,如右上圖,作 ME / / AD,ME交CD於E點。因為 ME / / AD, MN:NA=2:3,所以 NE:ND=2:3。
直角△ABD中,∠ADB=90∘,DN⊥AB,由直角△母子相似性質可知 DN2=AN×NB,因此DN2= [(
½)r×3] ×(½) r = (¾ ) r2DN=(√3/2) r
因為 NE:ND=2:3,NE=()ND,所以NE=()(√3/2) r =(√3/3) r。如圖一,以O點作圓心,半徑長 (√3/3) r ,則圖一的小圓O面積就是πr2。圖一的圓環面積是 πr2 πr2 =()πr2
再作圓O直徑AB的中垂線交圓O於F點和G點,則FG二等分圓環(如圖二),兩區域(綠色和黃色)的面積都是
πr2
綜合上述說明,可知圓O的面積被三等分,如圖二所示,綠色、黃色區域和小圓O的面積相等。

圖一 圖二

 


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