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31.

適合對象︰九年級(國三) 能力指標:  全等形 難度指數:☆☆☆☆☆

 

 等腰三角形ABC,AB=AC,∠A=20°。如果D在ACAD=BC,則∠BDC是幾度?

 

作正三角形BCEE點在三角形ABC內.
連AE.
ECB=60°,∠ACB=80°,∠ACE=(80-60)°=20°=BAD.

因為AD=BC=CE,,∠ACE=BAD且AC=BA
所以三角形ACE全等於三角形BAD(SAS全等)

因為三角形ABE全等於ACE((SSS全等)
所以BAE=CAE=(20/2)°=10°=ABD

BDC=BAD+ABD(外角定理)
=(20+10)°=30°

 

 

 

32.

適合對象︰國三 能力指標:  圓,相似形 難度指數:☆☆☆☆☆

 

正三角形ABC內切圓切點分別是D點、E點、F點。  $\widehat{EF}$弧上一點M,由M點向正三角形ABC三邊作垂線,垂足分別是P1、P2、P3。如果MP1=p,MP2=q,MP3=r,試說明$\sqrt{p}=\sqrt{q}+\sqrt{r}$

 

 

 

 

 

EF

MP1EF相交於H點。
因為E點和F點是中點,且EF//AB

所以正三角形CEF的高=HP1

因為正三角形CEF的高=MH+MP2+MP3,所以HP1=MH+MP2+MP3
因此MP1=MH+HP1=2MH+MP2+MP3,即 p=2MH+q+r....(1)

因為MHEP2四點共圓所以∠MP2H=∠MEH(對同弧$\widehat{MH}$)
因為MHFP3四點共圓所以∠MHP3=∠MFP3(對同弧$\widehat{MP_3}$)
因為正三角形ABC內切圓,弦切角∠P3FM=∠MEF(圓周角)=∠MEH所以∠MHP3=∠MP2H
同理可證
∠MP3H=∠MHP2
因此三角形MP3H相似於三角形MHP2
因為 MHMP2=MP3MH,所以MH2=MP2×MP3=qr
因此MH=$\sqrt{qr}$....代入(1)
p=2$\sqrt{qr}$+q+r=($\sqrt{q}+\sqrt{r}$)2
所以$\sqrt{p}=\sqrt{q}+\sqrt{r}$ 得證

 

 

 

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