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26.

適合對象︰高一 能力指標:  算幾不等式 難度指數:☆☆☆☆☆

 

 試證︰

 

 

《請參閱》

 

 

 

27.

適合對象︰國二 能力指標:  分數運算 難度指數:☆☆☆☆

 

 試說明$\frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+\frac{7}{9}+\frac{9}{11}$最接近於哪一個整數?

 

 

$\frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+\frac{7}{9}+\frac{9}{11}$=
$1-\frac{2}{3}+1-\frac{2}{5}+1-\frac{2}{7}+1-\frac{2}{9}+1-\frac{2}{11}$=

$5-2(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11})$ < $5-2((\frac{1}{6}+\frac{1}{6})+(\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}))$ =$5-2\times\frac{7}{12}$=$3+\frac{5}{6}$

所以$\frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+\frac{7}{9}+\frac{9}{11}$最接近於整數4。

 

 

28.

適合對象︰高一 能力指標:  不等式 難度指數:☆☆☆☆☆


 如果 0<p、q、r<1,試說明︰pq+qr+rp-2pqr<1

 

 

pq+qr+rp-2pqr-1=rp+qr-pqr-r+pq-pqr+r-1=

r(p+q-pq-1)+pq(1-r)+(r-1)=r[(p-1)+q(1-p)]+(1-r)(pq-1)=
r(p-1)(1-q)+(1-r)(pq-1)

因為r(p-1)(1-q)<0且(1-r)(pq-1)<0,所以r(p-1)(1-q)+(1-r)(pq-1)<0。

因此pq+qr+rp-2pqr-1<0,即pq+qr+rp-2pqr<1

 

 

29.

適合對象︰九年級(國三) 能力指標:  中垂線 難度指數:☆☆☆☆☆


 銳角三角形ABC內有一圓o。試在圓O上找一點P,AB上找一點M,AC上找一點N。使得PA最短且三角形PMN的周長最小。


 

 

顯然,連接OAOA和圓O的交點P,PA最短。

過P點分別作ABAC的對稱點Q點和R點。

QR分別交ABAC於M點和N點。

三角形PMN即為所求

 

 

 
假設S不同於M,T不同於N。顯然三角形PST的周長=SQ+ST+TR > QR  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

適合對象︰九年級(國三) 能力指標:  中垂線 難度指數:☆☆☆☆☆

 

 三角形ABC,P點是AB上任一點。試在ACBC上取Q點和R點,使得三角形PQR的周長最小。


 

 

P點分別以ACBC為對稱軸,對稱點分別是D點和E點。

連DE,分別交ACBC於Q點和R點,三角形PQR即為所求。

 

假設M點在AC且M≠Q,N點在BC且N≠R,則MP=MDNP=NE

三角形PMN的周長=PM+MN+NP=DM+MN+NE >DE=DQ+QR+RE=三角形PQR的周長

 

 

 

 

 

 

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