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  |─ 圓內接三角形面積最大為何
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作者 標題: 圓內接三角形面積最大為何
jyi     發表於: 2005/5/25 下午 02:28:33            
我也知道是正三角形但如何証明
AQ          回覆於: 2006/3/14 下午 10:03:39                        

推一下
..          回覆於: 2006/3/15 下午 10:26:53                        

三角形三邊長為a b c
半徑為R的內接三角形面積為(a*b*c)/4R
利用算幾不等式得知當a=b=c時
有最大三角形面積

chuchu          回覆於: 2006/3/15 下午 10:41:09                        

設圓半徑r,依圓內接直角、鈍角、銳角三角形討論

(1)直角三角形
底=2r,高=r,最大面積=(1/2)*(2r)*(r)=r^2
(2)鈍角三角形
底<2r,高<r,最大面積<(1/2)*(2r)*(r)=r^2
(3)銳角三角形
設圓心O,三角形三頂點為A,B,C,∠AOB=α,∠BOCβ,∠COA=γ
△ABC面積
=△OAB面積+△OBC面積+△OCA面積
=(1/2)*(r^2)*[sinα+sinβ+sinγ]
因為α,β,γ小於180度,且y=sinx圖形在區間(0,180度)凹向下
由琴生不等式:sinα+sinβ+sinγ≦3*sin[(α+β+γ)/3]=3√3/2
故△ABC面積≦(3√3/4)r^2
等號成立於α=β=γ=120度,即∠A=∠B=∠C=60度
所以圓內接三角形為正三角形時有最大面積(3√3/4)r^2
yani          回覆於: 2006/3/15 下午 11:16:42                        

固定一弦當△之底時,則當△為等腰△時,方有最大之高及面積
故正△為最大內接△面積
yani          回覆於: 2006/3/15 下午 11:18:29                        

較多的說明﹕在△ABC中,令BC=x,BC邊上的高為ha
對任意的正數x(不大於直徑),琣雪檃B=AC時,ha有最大值
同理證於AB=BC,故正△為最大內接△面積
yani          回覆於: 2006/3/15 下午 11:26:02                        

代數方法說明(用到微分)﹕令r=1,底2x,高y,則y=1+√(1-xx)
△=xy=x(1+√(1-xx)),令△’=1+(1-2xx)/√(1-xx)=0
令xx=z,2z-1=√(1-z),4zz-3z=0,z=3/4,x=√3/2,△為正△
yani          回覆於: 2006/3/15 下午 11:32:34                        

再補充﹕若AB≠AC,則作BC之中垂線交圓於D
則△BCD>△ABC(因兩者底相同,但前者有較長的高)
故存有兩邊不相等的△,必非最大內接△,故正△為(唯一)所求

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