為什麼只有5個正凸多面體

由多面體尤拉公式得知,如果正多面體有v個頂點,e個邊,f個面,則 v+f-e=2。...(1)
假設正多面體的m個邊共用一個頂點,而且每一面都是相同的正n邊形,也就是說m個全等的正n邊形的面共用一個頂點。因為m個邊共用一個頂點,所以m個面共用一個頂點。

因為多面體有v個頂點和e個邊,每一個頂點有m個邊,而且相鄰的兩個頂點共用一個邊,所以$\frac{m\times v}{2}$=e。...(2)

因為多面體有f個面和e個邊,每一個面有n個邊,而且相鄰的兩個面共用一個邊,所以$\frac{n\times f}{2}$=e。...(3)

由(2)(3)知v=$\frac{n}{m}$×f,e=$\frac{n}{2}$×f,代入(1)並化簡,得f=$\large\frac{4m}{2n-mn+2m}$。...(4)

 

因為正n邊形的每一個內角都是$\frac{180(n-2)}{n}$度,而且共頂點的m個角的度數總和應該小於360度,否則無法成凸多面體所以$\frac{180(n-2)}{n}$<360,化簡得
m(n-2)<2n,m(n-2)-2(n-2)<4,因此(m-2)(n-2)< 4。...(5)

 

由(4)(5)推論正凸多面體有多少個

因為m≧3,而且(m-2)(n-2)< 4f=$\large\frac{4m}{2n-mn+2m}$,得

m n f
3 3 4
3 4 6
3 5 12
4 3 8
5 3 20

所以每一面都是全等正三角形的正多面體包括正4面體正8面體正20面體;每一面都是全等正方形的正多面體是正6面體(正方體);每一面都是全等正5邊形的正多面體是正12面體。因此正凸多面體只有5個

相關連結正4面體正6面體正8面體正12面體正20面體


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